一、文献综述
- 国内外研究现状
傅里叶变换是在傅里叶技术正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析。傅里叶分析的研究与应用至今经历了一百余年。1822年法国数学家和物理学家傅里叶在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。其后，泊松、高斯等人把这一成果应用到电学中去。虽然，在电力工程中，随着电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具早已得到广泛的应用。但是，在通信系统中普遍应用这些数学工具还经历了一段过程，因为当时要找到简便而实用的方法来产生、传输、分离和变换各种频率的正弦还有一定的困难。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数和傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。当今，傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。
对图像进行傅里叶变换，是指将图像从图像空间变换到频率空间，从而利用傅里叶频谱特性进行处理和分析。图像的频率表示图像中灰度变化剧烈程度，是灰度在平面空间上的梯度。对于一幅图像，其灰度变化缓慢的区域对应较低的频率，而其灰度变化剧烈的区域则对应较高的频率。
一般而言，图像能量主要集中低频区域。对图像经过二维傅里叶变换后，观察其变换系数矩阵，可以发现:图像信号频谱能量将集中分布在系数矩阵的四个角上(当其变换系数矩阵的原点调整到左.上角时)或者集中分布在变换系数矩阵的中心附近(当其变换系数矩阵的原点调整到中心位置时);且变换之后，图像在原点平移之前，四个角的位置是低频、亮度最亮，平移之后中间的部分是低频、亮度最亮，亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。
直到2007年之前，并没有一种适用于彩色图像整体的傅里叶变换方式被发现。[1]中发掘了傅里叶变换的性质并利用超复数（尤其是其中的四元数），定义了一种可以适用于彩色图像的傅里叶变换。
在1965年发现快速傅里叶变换并证明了离散的傅里叶变换的运算在计算机上是可行的以后，傅里叶变换已经广泛应用于信号和图像处理。而将傅里叶变换运用到彩色图像处理的想法是后来提出的。这种变换因为若干原因不能由单一的复杂变换组成。[1]中提出的解决方法是利用超复数，特别是四元数，正如Hamilton在1843年发现的[2]，并用四元数表示彩色图像像素。四元数傅里叶变换的第一个定义是[3],[4]。1996年，Sangwine[5]利用离散的Ell变换，首次将四元数傅里叶变换应用于彩色图像。这些超复数傅里叶变换的定义显示了它们的适用性，允许将依赖于傅立叶变换的许多图像处理技术推广到彩色图像。特别是，根据最近的变换定义[10]，作者[16]、[17]、[20]–[23]证明了超复自相关和互相关以及向量相位相关的有效性。两年后，Pei等人利用[10]中定义的变换，发表了关于四元数傅里叶变换计算效率和线性四元数滤波器的工作[11]。
Buuml;low和Sommer已经发表了超复数傅里叶变换应用于灰度图像的研究成果[6]–[9]。他们使用超复数傅里叶变换的原因是它在应用于一个实值图像时具有对称性，但他们并没有考虑将这种变换应用于彩色图像。他们的工作是基于一个转换定义，相当于[3]。
有许多使用傅里叶变换的操作，例如带有大卷积掩模的线性滤波，可以成功地实现颜色分离，以及对分离的颜色分量进行独立的复傅立叶变换。这是因为过滤操作不依赖、也不利用三种颜色分量之间的相关性。最简单的证明是线性向量滤波器不能用分量分离的方法来实现。迄今为止，已经发表了两个例子。第一种是由Sangwine[12]设计的线性矢量边缘检测滤波器，该滤波器是线性矢量滤波器，不能使用分色法实现[13]。第二个例子是线性矢量颜色敏感平均滤波器，它选择性地平滑所选择的颜色[14]。
支持向量变换的第二个论据出现在两个图像要相关时，例如在对象定位或图像配准中。如果在不同的时间拍摄同一物体的两幅图像，在不同颜色的光照下（由于一天中的时间或人工照明色温的变化），则两幅图像中的详细颜色会有所不同。向量相关，使用向量变换实现，尽管图像之间存在这种差异，但仍会产生有用的结果。利用本文提出的基于变换的向量相关方法，相位相关也被推广到彩色图像[15]，[16]，直接的彩色灰度相关是可能的[17]。
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