一、小波变换在图像处理中的应用
（一）国内外研究现状
小波变换最早应用于图像处理，，在小波理论创立初期S.Mallat就提出了以多尺度分析为基础的局部极大模方法用于图像压缩。图像去噪是信号处理中的经典问题，传统的去噪方法多采用平均或者是线性的方法，例如：Wiener滤波，但是去噪效果却并不能令人满意。Donoho在1994年提出了平方最小原则下的最佳阈值求法开创了小波去噪的先河。由于小波变换通过伸缩和平移等运算对函数或者信号进行多尺度细化分析，是空间（时间）和频率的局部变换，能够有效地从信号中提取信息，这使得小波分析成为当前一种新兴的信号处理技术，被国际上许多学者关注。小波技术集物理、数学、计算机科学、电子工程等领域的成果于一身，广泛地应用于众多学科领域。
（二）研究主要成果
小波变换用于图像去噪的理论基础始于S.Mallat 把数学上的ipschitz系数与小波变换的模极大值联系起来。随后， Donoho 提出了小波 M 值萎缩方法(VisuShrink)，并从渐近意义上证明了其优越性。然而在实际应用中却往往效果不好，存在“过扼杀” 系数的缺点。以后人们进一步研究小波相关去噪方法、比例萎缩方法等，并且在进一步提高算法的局部适应性、先验模型的准确性、边缘信息的保留性等方面取得了巨大的进步。具体回顾小波去噪方法可以大致分成以下三个阶段：
第一阶段。最初的去噪方法主要是利用小波变换去相关性。在小波分解后不同层次的细节子带， 采用不同的阈值。代表方法有VisuShrnk(通用软阈值去噪)方法和SURES(基于 SteinS 的无偏风险估计，可得出接近最优软阈值的估计量)方法等。这期间硬阈值，软阈值和半软阈值等阈值函数也相继提出。
第二阶段。人们开始根据小波系数的统计性质建立各种先验模型，对小波系数的萎缩自适应变化， 也就是每个小波系数所采用的阈值都各不相同。小波系数模型主要可分为基于尺度内相关性的层内模型、基于尺度间相关性的层间模型和混合模型。最常用小波系数先验模型是广义高斯分布模型。 原图像小波系数的方差估计采用局部邻域估计，代表方法有数据驱动的自适应 BayesShrink方法， AWMShrink方法等。
第三阶段。 这一阶段人们主要关注如何利用小波系数层间和层内的相关性。二元或多元的小波萎缩函数被提出。在去噪的同时如何尽可能地保留边缘、 纹理等细节、 如何使去噪后的图像更光滑、 如何将小波变换去噪与其他方法结合等都处于不断地探索和研究中。 代表方法有 BivaShfink 方法、 小波的马尔可夫方法和复数小波去噪方法等。
- 发展趋势
小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多， 比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像， 水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感， 对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真， 例如：采用无失真 DPCM 编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，DCT 等。目前比较有效的小波变换压缩方法是 Shapiro 提出的小波零树编码方案。小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
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