一、文献综述
（一）国内外研究现状：
在数字信号处理中，图像的超分辨率重构一直是众多学者研究的热点领域。受限于现有的硬件制造工艺、相应的环境限制、整个硬件系统模糊以及噪声等因素，实际显示的图像质量并不能达到人们需要的要求，并且高分辨率显示要实现需要很高的成本，整个过程困难同时问题多。由于这些原因，人们意识到要获得高分辨率图像，只能通过软件算法从低分辨率图像中获得高分辨率图像。
研究图像的统计数据表明，图像块可以表示为选择适当超完备字典的稀疏线性组合形式，事实上，这个研究结果实际上和仿生学紧密相连，部分科学家研究动物的细胞结构，发现动物的视觉细胞能够对视觉信息进行稀疏性处理[1]，基于这些结果，学者们提出了一种方法来解决图像处理难题，以此寻求一种对低分辨率输入图像块的稀疏表示，然后用此稀疏表示的系数来生成高分辨率输出。这一理论被广泛的应用在信号处理领域。
从理论角度来说，信号可以通过少量的字典原子的线性组合来表示，即一幅图像能够在非常苛刻的条件下由它的一组稀疏表示系数在超完备字典上得到精确重建。这些字典原子就是基本信号[2]，而字典（过完备字典）是由个数超过信号维数的原子聚集而来的。字典学习方法通过优化相应的字典学习代价函数，获得能够对信号进行稀疏表示的字典，从另一种角度来说，通过优化代价函数使变换系数最稀疏[3]。通过对低分辨率图像块字典和高分辨率图像块字典的联合训练，进而可以强化低分辨率和高分辨率图像块与之对应真实字典稀疏表示的相似性，通过低分辨率图像块的稀疏表示和高分辨率超完备字典一起作用可以重建出高分辨率图像块，然后由高分辨率图像块连接得到最终完整的高分辨率图像。由此，图像的超分辨率重建技术主要就是稀疏表示以及相应的字典学习。
对于稀疏表示问题，任何 维空间域的的一个 维信号都可以由N个维度的基向量的线性组合来表示[4]，即
（1-1）
这里 表示对应的系数。写成矩阵的形式，即为 [2]。其中 看成 的基矩阵， 是由构成的维的列向量组成的系数向量。若这里的为标准正交基，
（1-2）
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