一、文献综述
（一）国内外研究现状
信号处理中基本的原理依据是奈奎斯特采样定理,在信号采样时，只有满足大于信号最高频率两倍的频率进行信号采样，才能精确地重构原始信号。信号采样过程中产生大量的冗余数据，最终只有部分重要的信息被应用，造成了大量资源的浪费和在特殊环境中数据使用的限制。由此学者们提出，可否利用被采样数据精确地重构原始信号或图像， 这部分重要数据是可以直接采集到的。最初，Mistretta 等提出：能否利用有限的采样数据使得原始信号或图像被精确或近似精确地重构，以缩减核磁共振成像的时间。Mistretta等依据此观念进行模拟实验， 实验采用经典的图像重构算法。实验结构证明重构的图像边缘模糊，且分辨率低。之后，Candes等[2]利用有限的采样数据精确地重构了原始信号，但采用的是惩罚思想，实验结果证明，在图像的稀疏表示中，随机选取的稀疏系数只有不少于2K个（K是非零稀疏系数的个数），原始信号或图像才能被精确的重构，且具有唯一性的特点，由此诞生了压缩感知理论。
针对可稀疏压缩信号， Donoho 等[3-6]在稀疏分解和信号恢复等思想的基础上提出压缩感知(CS) 理论框架，随后该理论迅速发展，为解决瓶颈问题提供了理论基础。在此基础上，Donoho[3]正式提出了“压缩传感”这一术语，此后文献[2-3,6-7] 针对稀疏表示的稀疏性和不相干性、稳健的压缩采样、随机测量等方面进行了许多研究，并将压缩感知作为测量技术应用于天文学、核磁共振、模式识别等领域，取得了良好的发展。
压缩感知引起了国外众多学者和组织机构的关注,被美国科技评为2007年度十大科技进展之一，如Waheed等[8]提出了网络数据的压缩传感；西雅图Intel、贝尔实验室、Google等知名公司也开始研究压缩感知；莱斯大学提出了一种利用光域压缩的新颖的压缩图像照相机框架和新的数字图像/视频照相机以直接获取随机映射，并建立CS专业网站，涵盖了理论和应用的各个方面[9]。在国内, 近几年对CS理论和实际应用的研究也成为热门的研究方向。以压缩感知为检索主题词在国家自然科学基金网络信息系统 (ISIS)[10]中查询近3年的项目资助情况，其资助力度呈逐年递增趋势(2010年资助39项，合计1627万元；2011年资助54项，合269万元；2012年资助77项，合计4135万元)。以上结果显示，对压缩感知的研究已经受到国家层面的大力重视，也吸引了越来越多的优秀学者参与。国内众多学者对压缩感知进行了深入研究， 其中具有代表性的有: 文献 [11] 针对压缩感知稀疏重建算法进行了研究；文献[12]详细探讨了压缩传感的理论框架及其关键技术问题；文献[13]深入研究了压缩感知的理论框架和基本思想，并讨论了未来的应用前景；文献[14]探索了在探地雷达三维成像中压缩感知理论的应用；文献[15]将压缩感知理论应用于无线传感网,并在分布式压缩传感理论基础上提出了一种数据抽样压缩和重构的方法；文献[16]将可压缩传感理论运用于实际传感器网络数据恢复问题。
国内外学者对低功耗WSN 中的链路特性进行了大量研究。研究结果表明，受多种因素影响， WSN 中的链路常常呈现出不可靠和不可预测特性。文献[6]测试了无线链路的空间特性，通过布置一定 数量的以均匀线性方式排布的传感器节点，统计出了数据传输的分组接收率与通信距离之间的关系。按照分组接收率的分布，整个通信区域可以分为 3个部分：高效区、过渡区和空白区。为了保证 数据传输的可靠性，可以只利用高效区进行通信，但这意味着节点配置非常密集，使整个网络的能耗 大幅增加。因此，必须利用过渡区进行数据传输。然而由于该区域的分组接收率分布具有随机性和不可预测性，要保证数据的可靠准确传输必须采取一定的防护措施。
随着压缩感知技术的产生与发展，其在 WSN 中得到了广泛的应用。文献[11]首先将 CS 应用到无线传感器网络中，提出了无线压缩感知的概念，通过一种分布式匹配的信源、信道联合通信机制在融合中心对感知数据进行估计和分析。文献[4]不仅利用CS对源信号进 行压缩，还将其作为应用层的一种纠删码技术实现 原始信号的高精度恢复。文献[12]总结了 WSN 中几种典型的数据丢失模式，并基于环境监测数据的空 间相关性、时间稳定性和低秩结构特性，利用 CS 的方法实现了环境监测数据的高精度恢复。文献[13] 将 CS 理论应用到大规模 WSN 的数据收集过程中， 提出了一种压缩数据采集方法，不仅可以有效处理 节点的异常数据，而且能够实现负载平衡从而延长 各节点及整个网络的生存期。文献[14]提出了一种 基于 CS 的无线信道随机获取方法。在每个工作周 期内只随机选择一部分节点进行数据采集、无线信 道接入和数据传输。通过合理设计各节点的感知概 率，在保证汇聚节点收到足够多数据的同时能有效 减少由于碰撞发生的分组丢失现象。文献[15]对不 可靠链路下基于 CS 的数据收集算法中数据重构信 噪比与链路误码率之间的关系进行了定量研究，针 对轻负载和重负载 2 种情况分别提出了基于邻居拓 扑空间相关预测和基于稀疏调度的 CS 数据收集算 法，减小了不可靠链路对数据收集的影响。文献[16]将CS应用到有损无线链路稀疏信号传输过程中，将传输过程中的随机分组丢失建模为 CS 的随机采 样过程，观测矩阵由分组丢失分布决定，然后在接 收端根据收到的有损数据高精度重构出原始信号，从而准确获得其携带的信息。 在 WSN 中，数据都以数据分组的形式发送，以IEEE 802.15.4 标准为例，数据帧可以分为 3个部分[17]：具有固定开销的帧头和帧尾以及携带的有效负载。直观上，可以通过增大数据分组长度（即增大负载）来 提高数据传输效率。然而，长数据分组具有更高的分 组丢失概率，并且一旦分组丢失将导致块状数据丢失， 将严重损害数据传输的可靠性和准确性。因此，如何避 免块状数据丢失，即在保证数据可靠准确传输的前提下尽可能提高传输效率是一个值得深入研究的问题。
（二）研究主要成果
众所周知，在奈奎斯特（Nyquist）采样定理为基础的 传统数字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号 中无失真地恢复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍.然而，随着当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求。由D Donoho及华 裔科学家 T Tao等人提出的压缩感知理论［1~5］指出了一条将模拟信号“经济地”转化 为数字形式的压缩信号的有效途径：利用变换空间描述 信号，通过直接采集得到少数“精挑细选”的线性观测数 据（这些数据是包含了信号全部信息的压缩数据），将信 号的采样转变成信息的采样，通过解一个优化问题就可 以从压缩观测的数据中恢复原始信号．在该理论下，信 号的采样速率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息 在信号中的结构与内容，因此在满足（1）信号的可压缩 性，（2）表示系统与观测系统的不相关性两大条件下，从 低分辨观测中恢复高分辨信号就成为了可能。 压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几 何、优化与运筹学、泛函分析与时频分析等基础上的一 种新的信号描述与处理的理论框架。CS理论避开了高速采样，一旦实践成功，就意味着信号的采样与处理都 可以以非常低的速率进行，这将显著降低数据存储和传 输代价，以及信号处理时间和计算成本，给信号处理领 域带来新的冲击。另一方面，这种压缩观测的思想也给高维数据分析指出了一条新的途径．因此，CS理论一经 提出，就在信息论、医疗成像、光学 ／遥感成 像、无 线 通 信、模 式 识 别、生 物 传 感、雷达探测、地质勘探、天文、集成 电路分析、超谱图像处理、图像压缩、图像超分 辨重建等领域受到高度关注，并被美国科技评论评 为“2007年度十大科技进展”，D Donoho因此还获得了 “2008年 IEEE IT学会最佳论文奖”。如今 CS理论自身 也表 现 出 强 大 的 生 命 力，已 发 展 了 分 布 式CS理 论，1-BIT CS理论，Bayesian CS理论，无 限维 CS理论，变形 CS理论、谱 CS、边缘 CS理 论、Kronecker CS理论、块CS理论等。它们不仅为许多应用科学如统计学、信息论、编码理论、计算机科学等带来了新的启发，而且在许多工程领域如低成本数码相机和音频采集设备、节电型图像采集设备、高 分辨率地理资源观测、分布式传感器网络、超宽带信号处理等都具有重要的实践意义。尤其是在成像方面如地震勘探成像和核磁共振成像中，基于 CS理论的新型传感器已经设计成功，将对昂贵的成像器件的设计产 生重要的影响。在宽带无线频率信号分析中，基于 CS理论的欠奈奎斯特采样设备的出现，将摆脱目前 A／D 转换器技术的限制困扰。目前，CS理论与应用研究正在如火如荼地进行：在美国、欧洲等许多国家的知名大学如麻省理工学院、莱 斯大学、斯坦福大学、杜克大学等都成立了专门课题组 对 CS进行研究；2008年，贝尔实验室，Intel，Google等知名公司也开始组织研究 CS；2009年，美国空军实验室和杜克大学联合召开了 CS研讨会，美国国防先期研究计划署（DARPA）和国家地理空间情报局（NGA）等政府部门成员与数学、信号处理、微波遥感等领域的专家共同探讨了 CS应用中的关键问题；第二次以“压缩感知和高维数据分析”为主题的研讨会也将在 2011年的 7月 26~28日在杜克大学召开。在国内，一些高校和科研机构也开始跟踪 CS的研究，如清华大学、中科院电子所、 西安交通大学和西安电子科技大学等。自从 2006年CS 的提出，在 IEEE的信号处理汇刊、信号处理快报汇刊、信号处理杂志、信息论汇刊等国际知名期刊上开始涌现出上百篇关于 CS理论与应用方面的文献。2010年，IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing专门出版了一期关于CS的专刊，促进了 CS理论在各个领域应用成果的交流。2011年 4月，第一本关于 CS的专著 《Compressed Sensing:Theory and Applications》出版，不仅系统的介绍CS的概念，而且汇集了世界各国学者在CS 理论和应用上的观点和成功范例。国家自然科学基金委也自 2009年资助了多项压缩感知方法的研究，涉及认知无线电、雷达成像、信号稀疏表示、多媒体编码、人脸识别等领域。
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