随机利率模型及其债券定价与实证分析文献综述

1. 文献综述（或调研报告）：

作为金融数学中的重要概念，人们对于利率的研究甚多，且经常与其衍生品的定价问题相伴讨论。在债券定价问题中，将利率视为随机变量的研究是十分有必要的。[1]中说明了利率影响零息债券定价的以下相关事实：考虑在时刻时购买、时刻时到期且将获得价值的零息债券的价格：

1. 当短期利率在任意时刻均为常数时，通过折现易得;
2. 当短期利率是关于时间的确定性函数时，类似可得；
3. 而当短期利率是一个随机过程时，等式“”不再有意义，因为在时刻确定的价格只能依靠时刻及之前的信息，这与该式中取决于未来时刻的短期利率相矛盾。

为了解决这一问题，我们可以利用到时刻为止的域流对原式作条件期望，从而将原式中的未来信息过滤出去，写成。需要注意的是，该条件期望是在某个待定的鞅测度下取得的而非客观测度，[2]中详细介绍了这种无套利条件下的讨论，由于定价模型在下建立较为方便，一些文献中为了记号上的简便即用来代指，但我们必须注意客观世界中的数据不应直接代入之后讨论中的模型结果，而应考虑风险的市场价格使用Girsanov定理加以校准。

短期利率的动态一般可用以下随机微分方程（SDE）表出：

其中是一个标准布朗运动（也称维纳过程），它满足：（1）几乎处处成立；（2）样本轨道几乎处处连续；（3）对于任意的有限时间序列，增量相互独立；（4）对任意时间点，服从均值为、方差为的正态分布。[3]给出了布朗运动及相关随机过程的性质研究以及布朗运动的模拟方法，为之后的随机利率模型的仿真和估计奠定了基础。

1. 中指出，现有的主流简易随机利率模型分为仿射模型和短期利率模型。仿射模型是指有指数仿射的形式，其中为影响债券价格的经济因素（如果是一维的则称为单因子模型），和是光滑函数（是一维的，与维数相同）。瞬时远期利率定义为，在仿射模型中是的仿射函数。

与到期期限的关系称为利率期限结构，引入Musiela记号后记，可以通过Nelson-Siegel参数化曲线或Svensson参数化曲线来拟合瞬时远期利率曲线（又称收益率曲线）。远期利率模型的一个重要结果是Heath-Jarrow-Morton框架（HJM框架），它给出了一般化的无套利条件，[4]的后续章节中给出了更多有关远期利率模型的讨论。

本课题的焦点仍是短期利率。当仿射模型中提到的影响的经济因素为一维且视作其就是短期利率时称为短期利率模型，而单因子短期利率模型是指其中布朗运动也是一维的。[5]列出了以下得到广泛许可的单因子短期利率模型：

在Ho-Lee之前的模型的漂移项是只关于的函数，其中包含一些以Vesicek模型为代表的均值回复模型。[6]深入研究了Vesicek模型，除基础单因子Vesicek模型外，还讨论了扩展Vesicek模型和双因子Vesicek模型，并研究了基于Vesicek模型的债券及债券买权的定价问题。从Ho-Lee模型开始，人们把时刻作为漂移项函数的另一个自变量，构建了一些以Hull-White模型为代表的时间相依模型。例如[7]即是一篇基于Hull-White模型研究债券相关问题的文章。这些模型各有优劣之处，[8]比较了几个常用短期利率模型的特点，指出：Vesicek模型的长期均值和波动率为与利率变化无关的常数，然而它存在利率为负的现象；CIR模型的长期均值为常数但波动率受利率变化影响，它保证利率始终非负且在时利率始终为正；Hull-White模型因考虑时间的推移对利率均值的影响而更加符合实际，但它不像Vesicek模型和CIR模型那样存在解析解。

为了给传统的均值回复模型添加与时间相关的经济形势变化对利率产生的波动影响，同时改善时间相依模型的可操作性，体制转换模型成为近年来较为流行的随机利率模型。[9]给出了一种新颖的思路，利用马尔可夫链在有限状态间的转换来实现不同经济状态之间的模型控制，通过引入与布朗运动独立的马尔科夫过程变量来影响利率模型的均值水平和波动率，很好地描述了不同在经济形势下利率的不规则波动，同时给出了相应的债券定价思路。[10]则在[9]方法的基础上完成了对债券期权定价的讨论。

参考文献：

1. Privault N. An elementary introduction to stochastic interest rate modeling [M]. World scientific, 2012.
2. Bjouml;rk T. Arbitrage theory in continuous time [M]. Oxford university press, 2009.
3. Back K. A course in derivative securities: Introduction to theory and computation [M]. Springer Science amp; Business Media, 2006.
4. Carmona R. Tehranchi M. Interest Rate Models: An Infinite Dimensional Stochastic Analysis Perspective [M]. Springer Science amp; Business Media, 2007.
5. 严加安. 金融数学引论[M]. 科学出版社, 2012.
6. 王亚伟. 随机利率模型下衍生证券定价的研究[J]，兰州理工大学，2007.
7. 沈传河，王向荣. Hull-White随机利率模型在债券价值分析中的应用[J]，山东科技大学，2005.
8. 谌雪莺，黄宜平. 基于随机利率模型的零息债券定价方法研究[J]，天津财经大学，2011.
9. Elliott R J, Siu T K. On Markov-modulated exponential-affine bond price formulae [J]. Applied Mathematical Finance, 2009, 16(1): 1-15.

[10].Shen Y, Siu T K. Pricing bond options under a Markovian regime-switching Hull–White model [J]. Economic Modelling, 2013, 30: 933-940.

1. 文献综述（或调研报告）：

作为金融数学中的重要概念，人们对于利率的研究甚多，且经常与其衍生品的定价问题相伴讨论。在债券定价问题中，将利率视为随机变量的研究是十分有必要的。[1]中说明了利率影响零息债券定价的以下相关事实：考虑在时刻时购买、时刻时到期且将获得价值的零息债券的价格：

1. 当短期利率在任意时刻均为常数时，通过折现易得;
2. 当短期利率是关于时间的确定性函数时，类似可得；
3. 而当短期利率是一个随机过程时，等式“”不再有意义，因为在时刻确定的价格只能依靠时刻及之前的信息，这与该式中取决于未来时刻的短期利率相矛盾。

为了解决这一问题，我们可以利用到时刻为止的域流对原式作条件期望，从而将原式中的未来信息过滤出去，写成。需要注意的是，该条件期望是在某个待定的鞅测度下取得的而非客观测度，[2]中详细介绍了这种无套利条件下的讨论，由于定价模型在下建立较为方便，一些文献中为了记号上的简便即用来代指，但我们必须注意客观世界中的数据不应直接代入之后讨论中的模型结果，而应考虑风险的市场价格使用Girsanov定理加以校准。

短期利率的动态一般可用以下随机微分方程（SDE）表出：

其中是一个标准布朗运动（也称维纳过程），它满足：（1）几乎处处成立；（2）样本轨道几乎处处连续；（3）对于任意的有限时间序列，增量相互独立；（4）对任意时间点，服从均值为、方差为的正态分布。[3]给出了布朗运动及相关随机过程的性质研究以及布朗运动的模拟方法，为之后的随机利率模型的仿真和估计奠定了基础。

1. 中指出，现有的主流简易随机利率模型分为仿射模型和短期利率模型。仿射模型是指有指数仿射的形式，其中为影响债券价格的经济因素（如果是一维的则称为单因子模型），和是光滑函数（是一维的，与维数相同）。瞬时远期利率定义为，在仿射模型中是的仿射函数。

与到期期限的关系称为利率期限结构，引入Musiela记号后记，可以通过Nelson-Siegel参数化曲线或Svensson参数化曲线来拟合瞬时远期利率曲线（又称收益率曲线）。远期利率模型的一个重要结果是Heath-Jarrow-Morton框架（HJM框架），它给出了一般化的无套利条件，[4]的后续章节中给出了更多有关远期利率模型的讨论。

本课题的焦点仍是短期利率。当仿射模型中提到的影响的经济因素为一维且视作其就是短期利率时称为短期利率模型，而单因子短期利率模型是指其中布朗运动也是一维的。[5]列出了以下得到广泛许可的单因子短期利率模型：

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