凸函数及其应用文献综述
一、研究背景
凸函数是一类相对比较重要的函数，它的概念最早出现在Jensen[1905]著述当中。它在很多的领域中都有着广泛应用，比如数学规划、对策论、经济学、变分学和最优控制等。广义凸函数的产生，在理论上对凸函数进行了一个很大的突破，使凸函数在实践中的应用加强了。
凸函数有几种定义，同时也有好几种性质。例如，凸函数一个很特别的性质就是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小 。这个性质使它在数学的众多领域中广泛应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、微观经济学、控制论等学科的理论基础和有力工具 。
二、研究意义
凸函数的局限性也比较明显。在实际问题中，许多的函数都是非凸性的。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，60年代中期产生了凸分析。凸函数的概念也在多个方面有了一个新的认知和推广。有关于抽象空间的新的推广，也有关于不等式的新的推广，然后才提出了广义凸函数的概念。60年代后期，先是有Mangasarian把凸函数的概念推广到拟凸函数（quasi-convex functions）和伪凸函数（pseudo-convex functions）。在数学规划中，函数的凸性只是一个充分条件，并不是必要条件。如何将函数的凸性概念进行推广，让凸函数的重要性质在更广泛的函数范围得到保留，凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，是目前数学规划研究领域的趋势之一，所以我们研究广义凸函数的一些定义和性质就十分重要了。
三、已有研究成果
凸函数是一种十分重要的数学概念，它在许多领域都有具有广泛的应用。正是由于凸函数有许多优良的性质的应用，现已经成为许多学科的重要理论基础和有力工具。2010年梁艳在发表《凸函数的应用》[4]一文阐述了凸函数的性质在证明数学中不等式应用。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》[5]一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》[6]，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。现在由于凸函数在概念上的净瓶，出现许多的新的发展，比如广义凸函数，下面简单的介绍一下些。凸函数的理论起源于本世纪前期，最初的理论奠基来自于Jenson，Hold等的著述之中，但是那时候并没有引起人们的关注。然而就在本世纪的40，50年代才引起了广泛的重视，由于某种的需要随之而来的就是对其概念研究，已经在运用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我们的学者对其进行了大量的研究，并得到了一些重要的，有价值的研究成果。于是在上世纪60年代产生了凸分析，其概念也被推广。
拟凸函数（quasi-convex functions）是一类非常重要的广义凸函数 ，对此数学史上已有大量的学者对拟凸函数进行了研究并著写出文献。拟凸函数的定义具有多种形式且相互之间有等价关系 。同时又有许多专家研究拟凸函数的上半连续性和下半连续性 。伪凸函数（pseudo-convex functions）是另一类重要的广义凸函数，其中强伪凸函数和严格伪凸函数尤其被数学工作者所研究 。强伪凸函数恰好是二次函数的严格伪凸性的推广，所有关于二次函数严格伪凸的特征同样也是二次函数强伪凸的特征 。
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