多元函数极值的高阶判别法及其推广
摘 要：生产生活活动中常常需要解决一些优化的问题——材料最省、效益最大、损耗最小等等，而在数学分析的课程中将所求的函数的最大或最小值统称为最值，其与极值问题密切相关。虽然对一元函数极值问题的研究理论方法基本上是比较完备的，但是实际的应用中要解决的更多的是多元函数的极值问题。相比于一元函数极值的研究而言，显然多元函数极值问题是更具实际意义和更为复杂的。而多元函数极值问题的研究又可以具体地分为无条件极值和条件极值问题。条件极值问题可以通过利用拉格朗日乘数法来进行求解；又或者通过转化成无条件极值问题来研究。而要解决生活中的生产量最多、用料最省等最优化问题，就需要讨论相关函数的条件极值或无条件极值。因此对多元函数极值的研究是具有实际意义的。
关键词：多元函数；极值；高阶偏导数；二次型；判别法
- 现状
在《利用高阶偏导数对二元函数极值的判定》[1]一文中我们可以看到，关于二元函数极值的存在性，已有如下的判别法：
设函数在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，并且
.
即点为函数的一个驻点，那么有：时，函数在点处达到极值：
且（或 ）时达到极大值；
（或 ）时达到极小值；
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