奥林匹克数学竞赛中的组合数学方法
摘要：数学竞赛已成为国际公认的教育活动，在对IMO试题的统计表明，试题范围主要稳定在数论、组合数学、数列、不等式、函数方程和几何等。本文在查阅百余篇文献的基础上整理组合数学方法的研究现状。并打算从容斥原理，递推关系，母函数三个组合方法着手，用奥数中的实例来论证奥数中的组合数学方法。
关键词：组合数学； 容斥原理； 递推关系； 母函数； 奥林匹克数学
- 引言
数学奥林匹克是专门解决数学难题的竞赛，它起源于16世纪意大利数学家菲奥的挑战塔塔利亚开始，举行公开竞争的三次方程的解决方案。数学竞赛已成为国际公认的教育活动，从小学、中学到大学，参赛人数之多、范围之广、试题难度之高等均不比奥运会逊色。单墫教授指出：“数学竞赛是才智的角逐”。在对IMO试题的统计表明，试题范围主要稳定在数论、组合数学、数列、不等式、函数方程和几何等。与通常题目相比，这些题更多的是在考察一个人的数学思维，以及数学技巧。
组合数学有着四千多年的发展历史，作为数学竞赛中的一个重要组成部分，组合数学源远流长。从中国古代《河图》、《洛书》中的三阶幻方、七桥问题、中国邮递员问题、36军官问题等实际难题的研究，到近些年来计算机科学以及通讯的发展，提出了一系列需要离散数学解决的理论和实际问题，促进了组合数学的发展，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科。
数学奥林匹克中组合数学是非常规数学知识和方法的统称，试题变化多端，技巧性极强的组合数学题的解题关键，在于精通解题策略，但策略本身就是对各种方法的熟练掌握，真所谓万变不离其宗，只要掌握好了方法，难题就迎刃而解。
- 国内外研究现状
在组合数学中主要由以下几个问题：存在性问题，计数问题，构造问题以及最优化问题。在这些问题中，在组合数学中，数学归纳法是一个最常用的证明方法，反证法是解决存在性问题最有力的武器。解决组合问题常常需要“对症下药”，一般考察的一些组合方法有：基本计数原理以及公式（加法原理和乘法原理，排列组合公式，二项式定理），容斥原理，递推方法，母函数方法，抽屉原理等其他方法。
通过对100多篇组合相关的文献的整理，将介绍以下几种组合方法的研究现状。
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