不动点定理在数学问题中的应用
（中学数学问题或高等数学问题）
摘要：不动点理论是一个历史悠久，却又是近现代一个发展较快的数学分支. 在数学问题中的应用更是广泛，不动点定理虽然不是中学必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决. 它的应用包括在数列，函数，线性方程以及非线性方程中等.
关键词：不动点定理 应用 数列 方程
一、文献综述
不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的数学分支. 自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善. 不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面. 许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献. 例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式. 即,设连续函数把单位闭区间映到中，则有，使. 波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”. “不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.
就发展方向而言，不动点理论的发展方向之一是只限于欧氏空间多面体上的映射. 不动点理论的研究兴起于20世纪初, 荷兰数学家布劳威尔在1909年创立了不动点理论. 它被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍. 即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用. 在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论. 1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理. 在有限维线性空间中，Brouwer对连续映射成功地给出不动点定理，但对于无穷维空间中的连续映射是否也能得到类似的结果，结果是否定的，即在无穷维线性赋范空间X中，不能简单的对连续映射建立不动点定理，需要加强条件. 1930年Schauder给出了一个应用广泛的不动点定理，它是有限维空间中的Brouwer不动点定理在无限维空间中的一个推广. Schauder不动点定理可以证明微分方程解的存在性定理，它至今仍是研究非线性微分方程解的存在性的有力工具之一. 虽然Schauder不动点定理在形式上比较一般，但它不包含Banach不动点定理. 1955年，Krasnosekii把两者很好地结合起来，给出也很有用的不动点定理—Krasnosekii不动点定理，此定理在研究算子方程扰动理论中起到重要的作用.例如在研究微分算子的扰动时，可以看到扰动往往一个压缩映像，而该微分算子的反演常常给出一个紧算子. 因此，使用Krasnosekii不动点定理即可断定扰动方程解的存在性.
不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach)，他于1922年提出的压缩映像原理（也称Banach不动点定理），该定理实际上是Picard逐次逼近法的抽象表述，是一个典型的代数型不动点定理. 这个逐次逼近法的点列是由来构造的，且不动点与初始点的选取无关.另外，这个逼近过程还给出了误差估计式：
以上是毕业论文文献综述，课题毕业论文、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
