几个重要不等式的证明与应用
——关于均值不等式的证明与应用
摘要：均值不等式是数学中的一个重要不等式。本文通过阐述均值不等式在求解最值、取值范围以及证明不等式中的应用，来归纳总结均值不等式在解题时的应用技巧。
关键词：均值不等式；历史背景 ； 研究现状；发展趋势
一、文献综述
- 引言
通过文献综述的撰写，可以帮助我系统地掌握分析不等式的历史发展过程，了解均值不等式的研究现状、已解决的问题。对不同的均值不等式研究内容进行分析、比较和思考，从而深入了解均值不等式的发展空间，为接下来的论文撰写寻找到切入点和突破点。另外，通过大量搜集资料，可以为科学地撰写论文提供丰富、有说服力的数据资料，使对不等式的研究站在可靠的材料基础上。因此，本文献综述将从历史背景、国内外研究现状和发展趋势这3个方面来说明。
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正文
- 历史背景
在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多. 匡继昌在《一般不等式研究在中国的新发展》[1]中帮我们回顾了20世纪80年代以来不等式研究的发展。 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起,东欧国家有一个较大的研究群体,特别是原南斯拉夫国家。
直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.历史上,华人数学家在不等式领域做出过重要贡献,包括华罗庚、徐利治、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域,他们在相关方面做出了独特的贡献,引起国内外同行的注意和重视。
20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。20世纪80年代杨路等教授--几何不等式、王挽澜教授--代数不等式、祁锋教授及其所领导的研究群体--平均不等式均作出伟大的研究贡献。而胡克教授--分析不等式，于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式及其若干应用》，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。
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