照片中的数学
——三维与二维的较量
摘要：作者从平行铁轨在相片中的相交性问题引入研究相片中的点与空间中的点的对应关系，主要研究水平拍摄时的像。笔者通过研究发现了原点收敛定理、直线保型定理，并且证明了水平面中的圆在相片中为椭圆。笔者利用逆向思维，从相片出发，回推原始点的坐标，同时研究了直线保型定理的逆定理，发现了平行定理，从而将原点收敛定理推广为相片中央水平线的无穷距离结论。最后，笔者为了在相片中直接用坐标系标出实际距离及点坐标，引入了自由轴坐标系，并且也成功地将空间中点的坐标表示在了相片中。
关键词：像平面；可视空间；直线保型；自由轴
一、文献综述
笔者查阅了很多国内外文献，这些文献为笔者的研究起到了很重要的作用。首先在欧几里得的《几何原本》[1]中，对于什么是平行线给出了详细的定义，即为同一平面内的一些直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。这是因为这个定义，导致了对于相片中平行线的一些思考。同时，笔者在第六章“直线保型定理逆定理的应用”的第二节“平行定理在水平面中的运用”中，使用了欧几里得《几何原本》类似的逻辑证明方法，并且借助反证法完成像平面中的水平平行线在水平可视面上的原像也相互平行后的推论“水平像平面中的中央水平线为水平无穷远”的证明。
吕林根、许子道编著的《解析几何》[2]中关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系给出了很充分的代数解释，也为笔者进行平面映射、构造平面与直线带来了理论基础。同时，其中的平面三点式方程的行列式表示方式也被笔者在像平面的还原中使用。笔者利用吕林根、许子道编著的《解析几何》中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及平面三点式方程的行列式表示方式完成了一部分定理的证明工作。同时，笔者还应用了这本书中直线的射影式方程。吕林根、许子道编著的《解析几何》关于二次曲线的方程也被应用在了笔者的研究中，尤其是在第四章“圆在像平面中的图形”应用了椭圆的二次型方程。
欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编写的《数学分析(上册)》[3]中的极限理论为笔者在第三章“平行铁轨在像平面中的像”中的前三节“当h=0时的铁轨图像”、“任意h下的铁轨图”、“原点收敛定理”中提供了充分的理论依据。
欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编写的《数学分析(下册)》[4]为笔者在最后一个章节“像平面与自由轴坐标系”中自由轴坐标系的提出与相互转换提供了理论基础。自由轴坐标系的思想与《数学分析（下册）》中计算二重积分时的变量替换思想具有一致性，无非就是在《数学分析（下册）》中，利用雅可比行列式对于两个坐标系进行关联，而在笔者的自由轴坐标系中，利用坐标系本身的变化而进行关联。
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