微分中值定理在数学解题中的应用
摘要：微分学的中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.同时，微分中值定理建立了函数值与导数值之间的定性与定量关系，为研究函数的一些性质提供了有力的工具.本文从不定式求极限、近似计算、函数的升降与极值、函数的凹凸性与拐点以及不等式的证明这五个方面，讨论了微分中值定理在数学解题中的一些应用，并通过典型例题加以说明，对各种类型的应用进行了概括和总结.
关键词：罗尔定理； 拉格朗日中值定理； 柯西中值定理；泰勒定理；应用
一、引言
微分中值定理是微分学的基本定理之一， 微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等一系列中值定理的统称，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位.微积分是大学数学发展的基础知识，微分中值定理更是微积分中的重要工具.掌握好微分中值定理对学好大学数学具有重要的意义.所以，本次研究将通过微分学基本定理的介绍,揭示函数与其导数之间的关系,在知识结构和思想体系中建立起运用导数进一步研究函数性质的桥梁.微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要.数学理论的研究过程往往体现了由特殊到一般，由局部到整体，由直观到抽象的研究理念.微分中值定理的研究也是如此，从研究的开始到目前大约已经经历两百多年的时光.人们在研究过程中逐渐意识到各个函数与导数现象之间的内在联系，由此浓缩成为微分中值定理.本文从不定式求极限、近似计算、函数的升降与极值、函数的凹凸性与拐点以及不等式的证明这五个方面，讨论了微分中值定理在数学解题中的一些应用，并通过典型例题加以说明，对各种类型的应用进行了概括和总结.
本课题的主要目的是了解微分中值定理的证明及其相关应用，从而提高学生的数学思维能力.导数是研究函数性态的重要工具，但是导数概念本身还不能充分体现这一作用.这是因为函数在一点的导数，只是刻画了函数在该点的局部性态.而我们经常要讨论的是函数在区间的整体性态.那么怎么借助导数这个局部性态来讨论函数在区间的整体性态呢？这就需要在区间上建立函数与其导数之间的联系，这就是本文要讲的微分学的基本定理.因为这些定理都具有中值性，所以统称为微分学的中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理）.
微分中值定理是微分学的基本定理之一，是研究函数的有力工具，微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日微分中值定理为例，它的几何意义：一个在上连续，在上可微的曲线段,必有在，曲线在点的切线平行于连接点与的割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，则质点在时间区间上走过的路程为,在上的平均速度为路程与时间的比值，存在的某一时刻,质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度.
二、研究现状
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