广义积分敛散性与无穷级数敛散性
——关系及应用
摘要：广义积分研究的是连续变量，而无穷级数研究的是离散变量.两者均是是数学分析中重要的两个组成部分.只是一类是函数的求和，而另一类是数列的求和， 体现了离散与连续这一基本矛盾对立和统一.本文全面地叙述了无穷级数与广义积分敛散性的关系，首先在二者的联系上，关于广义积分的收敛性和无穷级数收敛的判别法，我们列出了一些的平行的结论.其次，在二者的差异方向，着重探讨了广义积分收敛时被积函数极限为零所需的必要条件.通过构建积分与级数关系的桥梁，对部分结论进行了简单的应用举例.
关键词：无穷级数； 广义积分； 收敛； 发散；
1、引言
在数学分析的各个分支上，都贯穿了离散变量和连续变量。级数和积分学两个重要的数学概念分别深刻地体现了离散和连续，在数学分析中占据着举足轻重的地位，无穷级数是级数中重要的研究方面，广义积分的讨论更是拓展了积分学的研究空间.目前国内各高校所采用的数学分析、高等数学等教材中，有关于广义积分敛散性问题的讨论与无穷级数的敛散性问题的讨论，二者不但在理论及研究方法上有诸多相似之处，而且很多敛散性质、定理也都是相互对应的.可是单单若论研究变量方向，无穷级数研究的的是离散变量，广义积分研究的是连续变量，二者似乎相距甚远，但究其本质也是殊途同归的. 在本质上，它们都是求和运算，同时该求和过程是一个极限过程.本文以广义积分敛散性与无穷级数敛散性之间的相互转化关系作为出发点，进行对比研究. 同时参阅了相关的文献资料，列出了很多的平行的结论.，并根据资料提出了一些新的问题，指出了两者在敛散性必要条件的差异.
2、研究现状
《数学分析》是数学系数学专业的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分等方面的系统知识.上册内容包括实数集，数列，极限，函数极限，连续性，导数和微分，微分中值定理及其应用，实数完备性，不定积分，定积分及其应用，反常积分等，附录分为微分学简史，实数理论，积分表等：下册包括数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，隐函数，多元函数积分等.遗憾的是在该书中，关于反常积分收敛的问题的讨论，只对其充分条件作了讲解和论证，而对于其必要条件的介绍涉及甚少.
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