- 调研报告：
- 正定矩阵的定义：
- 实对称正定矩阵定义：
一个的实对称矩阵是正定的，当且仅当对于所有的非零实向量，都有。其中表示的转置。
- Hermite矩阵正定性定义：
一个的Hermite矩阵(或埃尔米特矩阵)是正定的，当且仅当对于每个非零的复向量，都有。其中表示的共轭转置。
- 正定矩阵的一些主要性质
设是正定矩阵，则：
- 是可逆实对称矩阵，且；
- 能且只能与正定矩阵合同；
- 在合同变换下可化为标准型，即单位矩阵。
- 一定是非奇异的（非奇异矩阵的定义：若阶矩阵的行列式不为零，则成为非奇异矩阵）
- 的任一主子矩阵也是正定矩阵；
- 的所有主子式全都大于0；
- 的主要对角线上的元素全都大于0
- 若均为正定矩阵，则时，为正定矩阵。
- 设 则均为正定矩阵。
正定矩阵的性质有很多，在此不一一列举。
- 设是阶实对称矩阵，则以下条件等价：
- 是正定矩阵；
- 对于任意非零矩阵，都有。
- 对任一阶实可逆矩阵，是正定矩阵；
- 的正惯性指数为；
- 合同于单位矩阵，即存在阶实可逆矩阵，使；
- 的所有主子式都大于0；
- 的顺序主子式都大于0；
- 的所有特征根都大于0；
- 的任一主子矩阵也是正定矩阵；
- 对任意大于的正整数，存在秩为的实矩阵，使；
- 存在主对角元素都是正数的实上三角矩阵，使；
- 存在正定矩阵，使。
- 正定矩阵的一些应用
- 判断函数的极值
如果实值多元函数二阶连续可导，并且在点处梯度等于0即，为驻点（ ）。但是，我们无法判断在点处是极大值还是极小值。
记在点处的Hesse矩阵（黑塞矩阵）为。
由于在点处连续，所以是一个的对称矩阵。对于，有如下结论：
如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部的极小值。
如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部的极大值。
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