不等式证明
摘要：不等式是数学学习中的一个极其重要的部分。从小学一年级最简单的数学学习开始，学生们就已逐渐接触不等式。从不等式的解法开始到不等式的证明，再到柯西不等式、均值不等式等重要不等式的应用，不等式贯穿于整个数学学习过程中。在历年的中考以及高考试题中关于不等式的题型屡见不鲜。在中学数学中不等式的证明方法有综合法、数学归纳法、构造法、反证法、比较法、分析法、换元法、放缩法等初等方法。而在高等数学中不等式的证明方法有利用函数最大值最小值、凹凸性、泰勒公式、单调性、微分中值定理等来证明或者发现不等式。不等式本身是比较抽象的，而且它对逻辑性的要求也比较高，另外它的证明非常灵活，证明方法多样化，但却没有固定的模式，因此对数学的发散思维和敏锐度要求也很高。教师们在解决不等式问题时要注意方式方法，讲究一题多解，在此过程中，不仅无形地培养了学生的探索精神，而且启发学生去创新，激发创造性思维，从而提高了学生的思维水平。
关键词：初等数学； 高等数学； 凹凸性；微分中值定理； 单调性； 最值和极值；泰勒公式；
一、研究的基本内容和拟解决的主要问题
（一）初等数学中常见的不等式证明方法
本课题主要是研究初等数学中常见的不等式证明方法，如综合法、分析法、比较法、构造法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等来创建或者证明不等式。
1.综合法
利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”到“需知”，最后再逐步得出“结论”。其逻辑关系为：hellip;，即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论。
- 分析法
综合法和分析法是两个是密不可分的方法。当解题思路无法从条件入手时，我们就可以采用分析法去思考，但最终依然要用综合法去证明。从待证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，再逐步到“已知”。用分析法证明的逻辑关系为：hellip;，书写的模式是：为了证明命题成立，只需证明命题为真，从而有hellip;，这只需证明为真，从而又有hellip;，hellip;hellip;这只需证明为真，而已知为真，故必为真。像以上这种证题模式，我们可以发现，用分析法证明不等式是每一步都寻求上一步成立的充分条件。
- 比较法
比较两个式子的大小有两种常见的基本方法，即求差或求商（与0或1的大小关系）。
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