新映射下的一个变换数列的文献研究
摘要：自1949年印度的数学家提出了“6174”问题以后，后续又有许多科学研究人员在此基础上不断发现、提出了许多黑洞数问题。本人重点研读了三篇关于K变换的文献，它们所提供的研究成果分别是给出了关于5位数K变换的一般结论，另一篇则给出并证明了K变换用于所有自然数后所产生的黑洞有且仅有有限个的结论，还有一篇则是在新的映射下给出了变换数列的所有黑洞。此外《黑洞数的性质及四种衍生法》[4]，《关于r进制二位黑洞数问题的探讨》[5]，《r进制3t位三分段黑洞数问题及其一般性研》[6],《四进制黑洞数问题探讨》[7]也给了本人许多启发。
关键词：黑洞； 变换数列
一、文献综述
1949年，一位印度的数学家Karprekar提出了一个有趣的数学问题，即对任一四位自然数（排除四位都是同一数字的数，如1111）不断重复某一操作，该数字终将成为6174，并且再继续对其进行上述指定操作，数字始终为6174，不再发生改变。后来这一数学过程被称之为卡尔普雷卡变换。上文当中的某一操作是指将组成这个四位自然数的四个数字分别按照从大到小和从小到大的顺序进行排序，获得两个新的数字，作差得到一个差值，继续进行上述步骤，可以发现在一次或者若干次以后，数字成为6174。我们可以把这一现象形象的称为“落入黑洞6174中”。
本人主要重点研读了以下三篇参考文献，《5位数K变换的一般结论中》[1]，外文文献《Investigations into the Kaprekar Process》[2]，《一个新的变换数列及其黑洞数问题研究》[3]
在文献《5位数K变换的一般结论中》中，首先阐明在已经公开的两位数、三位数、四位数的K变换结果，但是均没有给出K变换黑洞的方法，在该文献中用初等代数的方法，先利用K变换的定义求出三位数、四位数的卡尔普雷卡黑洞，接着证明了两位数和五位数的K变换黑洞不存在，同时给出了五位数变换的一般结论，即五位及五位以上的数的K变换黑洞不存在是不准确的。该文指出631764,549945都是六位数的K变换黑洞，554999445是9位数的K变换黑洞，所以对六位以上的数的K变换结果还需要进一步的讨论。这是一篇对K变换讨论的比较浅显的亦没有采用计算机程序的方法和统计分析的方法。
在外文文献《Investigations into the Kaprekar Process》中，首先作者指出了卡尔普雷卡已经给出了K变换适用于所有四位自然数的定理的证明（其中不包括1111及其倍数）。然后说明了该文的目的是将K变换应用于任意位数的自然数会产生什么现象。该文首先用统计分析的方法研究了五位自然数的K变换得到结论，所有五位自然数都会落入以下三个循环之一中，分别是{53955，59994}，{71973,83952,74943,62964}，{75933,63954,61974,82962}，所有五位自然数都会在6步以内进入上述循环之一。并且任一的五位自然数会从上述任一循环中的任一一个数中进入循环。该文作者表示没有发现如何预测或者判断一个数字是从某循环的哪里开始进入的，也不知道一个数字要经过多少次变换才能进入循环中，但是通过统计分析的方法发现3%的五位自然数会进入第一个循环，48%的会进入第二个循环了，49%的会进入第三个循环。然后进一步的调查和研究了四位自然数应用K变换的步骤，接着给出了K变换应用到所有自然数的总和结论。在研究了其他位数的自然数后发现，一些数字将终止变换而其他的数字则将进入所谓的循环。也就是说对于某些位数的数字（如三位数和四位数），这些数字将会收敛到一个固定的数字，而另外一些位数的自然数（如五位数和七位数），这些数字永远不会终止，也就是说它们会进入一个循环中。并且找出了哪些数字是不会进入循环的。最后在研究过程当中发现了有趣的回文序列，该文又对回文序列进行了研究。在该文献中，采用了“简单粗暴”的每一个数字通过计算机或者人工的方法对其一一施行K变换，最终得到所列的部分结论，并且讨论了有趣的回文序列。
在文献《一个新的变换数列及其黑洞数问题研究》中，作者首先给出了该文所要使用的新的变换，明确阐述了在这个新映射下的黑洞及黑洞数的定义。在这个新变换下的所有黑洞数将以一个新定理的形式呈现。具体方式是，首先给出一个引理，该引理的目的是为了让四位以及四位以上的自然数黑洞问题的证明归结到四位以下的自然数黑洞问题证明。实际上四位以下的黑洞数问题证明的思路是简单直接的。该文中所提出的新定理即在新定义的变换下，对所有自然数而言，他们产生的数列有且只有五个黑洞。自然的利用已经证明的引理说明只需要证明一位、两位、三位以及四位的自然数在这个新的变换下产生的数列有且只有五个黑洞。上述证明分为四种情形来进行讨论。讨论分析的方法与上文所提到的外文文献《Investigations into the Kaprekar Process》，也是用统计分析并结合初等代数的方法。首先对一位自然数进行研究分析，这一部分是简单明了的。而后是二位以及三位，实际上在研究过程当中，许多数都能归结到同一种情况当中去，因此即便是考虑所有的二位、三位自然数，它们在新的变换下所产生的数列的不同情形并没有非常的多。最后是考虑四位自然数，方法类似。
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